Анатолий Быков родился 17 января 1960 года в Ельцовке Иркутской области.
В 1987-м он он окончил Красноярский пединститут по специальности «физвоспитание».
Быков преподавал в школе, работал на заводе, а в начале 1990-х создал компанию «Строительство, технологии, металл». В 1992 году стал обладателем 10% акций КрАЗа (Красноярского алюминиевого завода) и позже увеличил долю до 28%.
К 1998-му акционер занял должность председателя заводского совета директоров. Впоследствии его нарекли «самым авторитетным человеком в Красноярске», прозвали Толей Быком и "Челентано".
Анатолия Быкова неоднократно избирали в заксобрание Красноярского края. В последний раз в 2011 году.
В 1999-м бизнесмен-политик мог быть вторым в списке ЛДПР на выборах в Госдуму, но скрыл, что в его собственности — джип и недвижимость.
В 2013 году возглавил региональное отделение политической партии «Патриоты России», которое на выборах в городской совет депутатов Красноярска получило 25,62% голосов избирателей.